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导数的概念与运算法则
考点1: 导数的定义
定义:
若$$\lim_{\triangle x\rightarrow\infty}\frac{f(\;x_0\;+\;\triangle x\;)-f(\;x_0\;)}{\triangle x}\\$$ 存在,则称 $$\;y=f(x)\;\\\\$$ 在 $$\;\;x_0\;\;\\\\$$ 处可导
称该极限为,$$\;y=f(x)\;\\\\$$在$$\;\;x_0\;\;\\\\$$ 处的导数
记作: $$f\;'\;(\;x_0\;)\;,\;\\\\$$$$f\;'\;(\;x_0\;)\;,\;\\\\$$$${}_{\;x\;=\;x_0\;}\\\\$$
特别的:
$$f\;'\;(\;x_0\;)\;=\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{f(\;x_0\;+\;\triangle x\;)\;-\;f\left(\;x_0\;\right)}{\triangle x}\\$$
$$=\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(\;x\;)\;-\;f\left(\;x_0\;\right)}{x\;-\;x_0}\\\\$$
$$\;f\;'\;\left(\;x\;\right),\;\;\\\\$$$$\;y\;'\;,\;\frac{\displaystyle dy}{\displaystyle dx}\;\\\\$$$$\frac{\displaystyle dy}{\displaystyle dx}\;\\\\$$
导函数记作:
$$\;f\;'\;\left(\;x\;\right),\;\;y\;'\;,\;\frac{dy}{dx}\;$$
考点2: 高阶导数
求n阶段方法:
求出f(x)的前几阶导, 总结规律, 得n阶导
高阶导数公式:
(1)
$${(\;e\;^{x\;})}^{\;(\;n\;)}\;=\;e^x,$$$$(\;e^{\;ax\;+\;b}\;)\;^{(\;n\;)}\;=\;a^{\;n\;}e\;^{ax\;+\;b},\;$$$${(\;a^{x\;})}^{(\;n\;)}\;=\;{(\;\ln\;a\;)}^{\;n}\;a^{\;x}$$
(2)
$$\left(\;x^n\;\right)^{(\;n\;)}\;=\;n!,\;$$$$\left(\;x^m\;\right)^{(\;n\;)\;}\;=\;$$$$0.\;( \;m < n\;)$$
(3)
$${(\;\sin\;x\;)}^{\;(\;n\;)\;}=\;\sin\;(\;x\;+\;\frac{n\;\mathrm\pi}2\;),\\\\$$$${(\;\cos\;x)}^{\;(\;n\;)}\;=\;\cos\;(\;x\;+\;\frac{n\;\mathrm\pi}2\;)\\\\$$
考点3: 求隐函数的导数
定义: 显函数 $$ \;y\; \;=\; f\; (\; x\; )\;$$, 隐函数$$ \;F \; ( \;x \;,\; y \; ) \; = \; 0\;$$
解题方法:
方法一: 复合函数法
方程 $$\;F\;=\;(\;x\;,\;y\;)\;=\;0\;$$, 两边同时对$$\;x\;$$求导, 解出$$\;y'\;$$
注意: $$\;x\;$$是$$\;y\;$$的函数
方法二: 公式法
(1)
构造二次元函数 $$\;F\;=\;(\;x\;,\;y\;)\;$$
(2)
求偏导数 $$\;F_x\;(\;x\;,\;y\;),\;F_{y\;}(\;x\;,\;y\;)\;$$
(3)
带公式 $$\;\frac{dy}{dx}\;=\;-\;\frac{Fx\;(\;x\;,\;y\;)}{Fy\;(\;x\;,\;y\;)}$$
考点4: 求参数方程的导数
(1)
参数方程: $$\;\left\{\begin{array}{l}x\;=\;\varphi\;(\;t\;)\\y\;=\;\psi\;(\;t\;)\end{array}\right.\;$$
(2)
求导公式: $$\;\frac{dy}{dx}\;=\;\frac{dy\;/\;dt}{dx/\;dt}\;=\;\frac{\psi\;'\;(\;t\;)\;}{\varphi\;'\;(\;t\;)}$$
$$\;\frac{d^2\;y}{d^{2\;}x}\;=\;\frac d{dx}\;\left(\;\frac{dy}{dx}\;\right)\;=\;\frac{d\;(\;{\displaystyle\frac{dy}{dx}}\;)\;/\;dt}{dx\;/\;dt}$$