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函数
考点1: 求函数的定义域
函数三要素: 自变量 x 因变量 y 对应法则 f
- 记为: y = f ( x )
函数的定义域: 自变量 x 的取值范围
解题思路: 求解不等式方程组
若函数是几个函数的四则混合式, 则应各部分定义域的交集
若为分段函数, 则取各部分定义域的并集
考点2: 函数奇偶性的判定
偶次方是偶
奇次方是奇
sin 是奇
cos 是偶
tan 是奇
常数是偶
(1) 定义法: 定义域D关于原点对称
- 若 f ( -x ) = -f ( x ), 则称 f ( x ) 为奇函数 奇函数关于原点对称
graph LR
A[" f ( -x ) "]--恒等变形-->B[" - f ( x ) "]
- 若 f( -x ) = f ( x ), 则称 f ( x ) 为偶函数 偶函数关于y轴对称
graph LR
A[" f ( -x ) "]--恒等变形-->B[" f ( x ) "]
(2) 公式法:
加减:
奇 ± 奇 = 奇
偶 ± 偶 = 偶
奇 ± 偶 = 非奇非偶
乘除:
奇 x/÷ 奇 = 偶
偶 x/÷ 偶 = 偶
奇 x/÷ 偶 = 奇
极限
考点1: 夹逼准则
若数列 { xₙ }, { yₙ }, { zₙ } 满足下列条件
(1) 从某项开始有 xₙ ≤ yₙ ≤ zₙ
(2) lim xₙ ( n ➝ ∞ ) = lim zₙ ( n ➝ ∞ ) = A, 则数列{ yₙ }的极限存在, 且 lim yₙ ( n ➝ ∞ ) = A
考点2: 两个重要极限
重要极限一:
$$\;\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\;x}x\;=\;1$$或$$\lim_{\lbrack\;\rbrack\rightarrow0}\frac{\sin\;\lbrack\;\rbrack}{\lbrack\;\rbrack}\;=\;1$$
例如:
$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\;3x}x\;=\;\underset{x\rightarrow0}{3\;\lim}\frac{\sin\;3x}{3x}\;=\;3$$
重要极限二:
$$\lim_{x\rightarrow0}{(\;1\;+\;x\;)}^\frac1x\;=\;e\;$$或$$\lim_{x\rightarrow\infty}{(\;1\;+\;\frac1x\;)}^{x\;=\;e}$$
考点2: 等价无穷小求极限
常见的等价无穷小:
当x→0时,
(1)
$$x$$$$\sim$$ $$\sin x$$$$\sim$$ $$\tan x$$$$\sim$$$$arc\sin x$$$$\sim$$$$arc\tan x$$$$\sim$$$$\ln (1 + x )$$$$\sim$$$$e^{x}$$
(2)
$$1-\cos x \ ~ \sim\frac12x^2$$
(3)
$$\left( \ 1 + x \ \right)^{a}-1\sim ax$$
注意: x ➝ 0 时,
$$\left(\ 1\ +\ x\ \right)^\frac12\ -1\ \sim\ \ \frac12x,\ \sqrt{1+x}-1\ \sim\ \frac12x$$
考点4: 零点定理证明方程根的存在性
零点定理:
- 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 闭区间上连续, 且f ( a ) · f ( b ) < 0 则∃ § ∈ ( a , b ) 使得f ( § ) = 0
考点5: 零点定理证明方程根的存在性
证明题解题步骤:
移动构造辅助函数 f ( x )
验证 f ( a ) · f ( b ) < 0
由零点定理结论: f ( x ) 在 ( a , b ) 内存在零点, 方程有实根